Question

【題目】如圖（1），已知正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，BE=DF，AE、AF分別交BD于點G、H．

（1）求證：BG=DH；

（2）連接FE，如圖（2），當EF=BG時．

①求證：ADAH=AFDF；

②直接寫出的比值．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) ①見解析； ②

【解析】

（1）根據正方形性質證△ABE≌△ADF(SAS)，得∠BAE=∠DAF，再證△ABG≌△ADH(ASA)即可；

（2）①連接GF，證明四邊形EBGF是平行四邊形，利用BE∥GF∥AD，根據平行線分線段成比例性質可得：，，故.

②由①可得,,設CF=k,DF=a,根據勾股定理和 平行線分線段成比例性質得，得到，再代入化簡可得.

證明：(1)∵四邊形 ABCD為正方形

∴AB=AD,∠ABC=∠ADC

∵BE=DF

∴△ABE≌△ADF(SAS)

∴∠BAE=∠DAF

∵AB=AD

∴∠ABD=∠ADB

∴△ABG≌△ADH(ASA)

∴BG=DH

（2）①連接GF.

∵BC=DC,BE=DF，

∴CE=CF

∵∠C=90°

∴∠DBC=∠FEC=45°

∴EF∥BD

∵EF=BG

∴四邊形EBGF是平行四邊形

∴BE∥GF∥AD

∵AD=CD

∴

∵EF∥BD

∴

∴，即.

②由（2）可得

∴

∴

設CF=k,DF=a

則EF=，DG=，

∴DH= EF=，

∴GH=-

∴由可得

整理得

解得

∴

=