Question

【題目】如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上的一點（異于兩個端點），AB＝2BC＝2，若BP的垂直平分線EF經過該矩形的一個頂點，則BP的垂直平分線EF與對角線AC的夾角（銳角）的正切值為_____．

Answer 1

【答案】或2﹣2

【解析】

分兩種情況：①當BP的垂直平分線經過頂點C時，連接PE，則PC＝BC＝1，PE＝BE,△PCE≌△BCE，得出∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，由勾股定理求出AC＝＝，的AP＝﹣1，證明△APE∽△ABC，求出PE＝，即可得出tan∠ACE的值；

②當BP的垂直平分線經過頂點A時，連接PE，則AP＝AB＝2，PE＝BE，△APE≌△ABE，的∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，PC＝AC﹣AP＝﹣2，

同①得：△CPE∽△CBA，求出PE＝＝2﹣4，求出tan∠CAE的值即可．

∵AB＝2BC＝2，

∴BC＝1，

分兩種情況：

①當BP的垂直平分線經過頂點C時，如圖1所示：連接PE，

則PC＝BC＝1，PE＝BE，△PCE≌△BCE，

∴∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，

∵AC＝＝，

∴AP＝﹣1，

∵∠PAE＝∠BAC，

∴△APE∽△ABC，

∴，

∴PE＝，

∴tan∠ACE＝＝；

②當BP的垂直平分線經過頂點A時，如圖2所示：連接PE，

則AP＝AB＝2，PE＝BE，△APE≌△ABE，

∴∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，

∴PC＝AC﹣AP＝﹣2，

同①得：△CPE∽△CBA，

∴，

∴PE＝，

∴tan∠CAE＝；

綜上所述，BP的垂直平分線EF與對角線AC的夾角（銳角）的正切值為或2﹣2；