Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點C為圓O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．

（1）試判斷CD與圓O的位置關系，并說明理由；

（2）若直線l與AB的延長線相交于點E，圓O的半徑為3，并且∠CAB=30°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）CD與圓O的位置關系是相切，理由詳見解析;(2) AD=．

【解析】

（1）連接OC，求出OC和AD平行，求出OC⊥CD，根據切線的判定得出即可；

（2）連接BC，解直角三角形求出BC和AC，求出△BCA∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．

（1）CD與圓O的位置關系是相切，

理由是：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∵∠CAB=∠CAD，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC為半徑，

∴CD與圓O的位置關系是相切；

（2）連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∵圓O的半徑為3，

∴AB=6，

∵∠CAB=30°，

∴

∵∠BCA=∠CDA=90°，∠CAB=∠CAD，

∴△CAB∽△DAC，

∴

∴

∴