Question

【題目】如圖，有一個不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C分別在邊長為1的正六邊形一組對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內部（包括邊界），則正方形邊長a的取值范圍是

Answer 1

【答案】
（ ）
【解析】解：因為AC為對角線，故當AC最小時，正方形邊長此時最小.
①當 A、C都在對邊中點時（如下圖所示位置時），顯然AC取得最小值，
∵正六邊形的邊長為1，
∴AC=,
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②當正方形四個頂點都在正六邊形的邊上時，a最大（如下圖所示）.
設A′（t,）時，正方形邊長最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（- ， t）
設直線MN解析式為：y=kx+b,M（-1，0），N（- ， -）（如下圖）
∴.
∴.
∴直線MN的解析式為：y=（x+1）,
將B′（- ， t）代入得：t=-.
此時正方形邊長為A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案為：≤a≤3-.

分情況討論.① 當A、C都在對邊中點時，a最小.②當正方形四個頂點都在正六邊形的邊上時，a最大.根據題意求出正方形對角線的長度，再根據勾股定理即可求出a.從而得出a的范圍.