Question

【題目】如圖①，AB是⊙O的直徑，，連接AC．

（1）求證：∠CAB＝45°；

（2）如圖②，直線l經過點C，在直線l上取一點D，使BD＝AB，BD與AC相交于點E，連接AD，且AD＝AE．

①求證：直線l是⊙O的切線；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②

【解析】

（1）連接BC，由知∠CAB＝∠ABC，根據AB為⊙O的直徑得∠ACB＝90°，據此可得答案；（2）①連接OC、作DP⊥AB，設∠ABD＝α，先根據AD＝AE、BA＝BD求得∠ABD＝∠DAE＝30°，據此知PD＝BD＝AB，結合OC＝AB知DP＝OC，據此證得四邊形DPOC為矩形，繼而得證；②證△ACD∽△BAE得＝＝，據此知AE＝CD，作EI⊥AB于點I，由∠CAB＝45°、∠ABD＝30°知BE＝2EI＝2×AE＝AE＝2CD，據此可得答案．

（1）如圖①，連接BC，

∵，

∴∠CAB＝∠ABC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°；

（2）①如圖②，連接OC、作DP⊥AB于點P，

設∠ABD＝α，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝∠BAD，

∴∠DAE＝∠DBA＝α，

∵∠CAB＝45°，

∴∠ADE＝∠AED＝∠CAB+∠ABD＝45°+α，

∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，

∴α+α+45°+α+45°＝180°，

解得：α＝30°，即∠ABD＝∠DAE＝30°，

在Rt△BPD中，PD＝BD＝AB，

又∵OC＝AB，

∴OC＝PD，

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∵DP⊥AB、CO⊥AB，

∴四邊形DPOC是矩形，

∴∠OCD＝90°，

∴直線l是⊙O的切線；

②由①知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，

∴∠ACD＝∠EAB＝45°，

則△ACD∽△BAE，

∴＝＝，

∴AE＝CD，

如圖②，作EI⊥AB于點I，

∵∠CAB＝45°、∠ABD＝30°，

∴BE＝2EI＝2×AE＝AE＝×CD＝2CD，

∴＝．