Question

【題目】 已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列結論：

①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；

③S△APD+S△APB＝+；④S正方形ABCD＝4+．

其中正確結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由題意可得△ABE≌△APD，故①正確，可得∠APD＝∠AEB＝135°，則∠PEB＝90°，由勾股定理可得BE，作BM⊥AE于M，可得△BEM是等腰直角三角形，

可得BM＝EM＝，故②錯誤，根據面積公式即可求S△APD+S△APB，S正方形ABCD，根據計算結果可判斷．

解：∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝90°

又∵∠EAP＝90°

∴∠BAE＝∠PAD，AE＝AP，AB＝AD

∴△AEB≌△APD故①正確

作BM⊥AE于M，

∵AE＝AP＝1，∠EAP＝90°

∴EP＝，∠APE＝45°＝∠AEP

∴∠APD＝135°

∵△AEP≌△APD，

∴∠AEB＝135°

∴∠BEP＝90°

∴BE

∵∠M＝90°，∠BEM＝45°

∴∠BEM＝∠EBM＝45°

∴BE＝MB 且BE＝,

∴BM＝ME＝,故②錯誤

∵S△APD+S△APB＝S四邊形AMBP﹣S△BEM

故③正確

∵S正方形ABCD＝AB2＝AE2+BE2

∴S正方形ABCD 故④正確

∴正確的有①③④