Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點D，且BD∥OC，連接AC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AB=OC=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據CD與圓O相切，利用切線的性質得到OD垂直于CD，再由OC與BD平行，得到同位角相等與內錯角相等，根據OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OD，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC與三角形DOC全等，利用全等三角形對應角相等得到∠OAC=∠ODC=90°，即可得證；

（2）由OD=OB=DB得到三角形ODB為等邊三角形，求出∠DOB=60°，根據圖中陰影部分的面積=扇形DOB的面積-△DOB的面積解答即可．

（1）證明：連接OD，

∵CD與圓O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠CDO=90°，

∵BD∥OC，

∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CDO=90°，則AC與圓O相切；

（2）∵AB=OC=4，OB=OD，

∴Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形，

∴∠DOC=∠COA=60°，

∴∠DOB=60°，

∴△BOD為等邊三角形，

圖中陰影部分的面積=扇形DOB的面積-△DOB的面積= ．