Question

【題目】已知：二次函數的圖象與x軸交于點A、，頂點為

求該二次函數的解析式；

如圖，過A、C兩點作直線，并將線段AC沿該直線向上平移，記點A、C分別平移到點D、E處若點F在這個二次函數的圖象上，且是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標；

試確定實數p，q的值，使得當時，．

Answer 1

【答案】（1）該二次函數的解析式為；（2）點F的坐標為；（3）滿足條件的實數p，q的值為，或，．

【解析】分析：（1）由二次函數y=ax2+bx+c的頂點為C（-1，-2），可設其解析式為y=a（x+1）2-2，再把B（-3，0）代入，利用待定系數法即可求出該二次函數的解析式；

（2）由二次函數的解析式求出A（1，0）．過點C作CH⊥x軸于點H．解直角△ACH，得出AH=2=CH，那么∠1=45°，AC=2．解等腰直角△DEF得出∠2=45°，EF=4，由∠1=∠2=45°，得到EF∥CH∥y軸．利用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x-1．設F（m，m2+m-）（其中m＞1），則點E（m，m-1），那么EF=（m2+m-）-（m-1）=m2-=4，解方程求出m，進而得出點F的坐標；

（3）先求出y=時x1=-4，x2=2．再根據二次函數的性質可知，當p≤x≤q時，p≤y≤，應分三種情況討論：①p≤x≤-1；②p＜-1≤q；③-1≤p＜q．

詳解：二次函數的頂點為，

可設該二次函數的解析式為，

把代入，得，

解得，

該二次函數的解析式為；

由，得或1，

．

如圖，過點C作軸于點H．

，

，，

又，

，

，．

在等腰直角中，，，

，，

，

軸．

由，可得直線AC的解析式為．

由題意，設其中，則點，

，

，不合題意舍去，

點F的坐標為；

當時，，解得，．

，

當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大；

當時，y有最小值．

當時，，

可分三種情況討論：

當時，由增減性得：

當時，，當時，，不合題意，舍去；

當時，

Ⅰ若，由增減性得：

當時，，當時，，不合題意，舍去；

Ⅱ若，由增減性得：

當時，，當時，，符合題意，

，；

當時，由增減性得：

當時，，當時，，

把，代入，得，

解得，不合題意，舍去，

，．

綜上所述，滿足條件的實數p，q的值為，或，．