Question

【題目】如圖，已知∠XOY=90°，等邊三角形PAB的頂點P與O點重合，頂點A是射線OX上的一個定點，另一個頂點B在∠XOY的內部．
（1）當頂點P在射線OY上移動到點P1時，連接AP1 ， 請用尺規作圖；在∠XOY內部作出以AP1為邊的等邊△AP1B1（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）設AP1交OB于點C，AB的延長線交B1P1于點D．求證：△ABC∽△AP1D；
（3）連接BB1 ， 求證：∠ABB1=90°．

Answer 1

【答案】
（1）解：等邊三角形作圖所如下；

（2）∵△PAB、△P1AB1是等邊三角形，

∴∠ABC=∠AP1D=60°，

又∵∠BAC=∠P1AD，

∴△ABC∽△AP1D．

（3）證明：

∵△PAB、△P1AB1是等邊三角形，

∴∠BAP=∠P1AB1=60°，AB=AP，AB1=AP1．

∴∠BA B1=∠P1AP．

∴△BA B1≌△P1AP（SAS）．

∴∠AB B1=∠P1 PA=90°．

【解析】（1）分別以A、P1為圓心，AP1長為半徑畫弧，兩弧交于B1點，△AP1B1即為所求；（2）欲證△ABC∽△AP1D，必須有兩組角相等，∠BAC=∠P1AD為一個公共角，又因為△PAB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1 ， ∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°﹣∠CAB，因此根據邊角邊公式可證△OAP1≌△BAB1 ， 因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．