Question

【題目】直線y＝x+b與雙曲線y＝交于點A（﹣1，﹣5）．并分別與x軸、y軸交于點C、B．

（1）直接寫出b＝　 　，m＝　 　；

（2）根據圖象直接寫出不等式x+b＜的解集為　 　；

（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-4，5；（2） x＜﹣1或0＜x＜5；（3）存在，D的坐標是（6，0）或（20，0）．

【解析】

（1）把A的坐標分別代入一次函數與反比例函數的解析式，即可求得b和m的值；

（2）根據圖象即可直接寫出，即反比例函數的圖象在一次函數的圖象上部的部分x的取值；

（3）求得△OAB的邊長，點D在x軸的正半軸上，可以分D在線段OC上（不在O點）或線段OC的延長線上兩種情況討論，依據相似三角形的對應邊的比相等即可求得．

解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y＝x+b得：﹣5＝﹣1+b，解得：b＝﹣4．

把A（﹣1，﹣5）代入y＝，得：m＝（﹣1）（﹣5）＝5．

故答案是：﹣4，5；

（2）解集為：x＜﹣1或0＜x＜5，

故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5；

（3）OA＝＝，

在y＝x﹣4中，令x＝0，解得y＝﹣4，則B的坐標是（0，﹣4）．

令y＝0，解得：x＝4，則C的坐標是（4，0）．

故OB＝4，AB＝＝，BC＝4，OC＝4．

∴OB＝OC，即△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BCE＝135°．

過A作AF⊥y軸于點F．則△ABF是等腰直角△，∠ABF＝45°，∠ABO＝135°．

1）當D在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；

2）當D在線段OC的延長線上時，設D的坐標是（x，0），則CD＝x﹣4，

∠ABO＝∠BCD＝135°，

當△AOB∽△DBC時，＝，即＝，

解得：x＝6，

則D的坐標是（6，0）；

當△AOB∽△BDC時，，即＝，

解得：x＝20，

則D的坐標是（20，0）．

則D的坐標是（6，0）或（20，0）．