Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、C，與AB交于點D．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ＝CP，連接PQ，設CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關于m的函數表達式；

②當S最大時，在拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+8；（2）①S=﹣m2+3m；②滿足條件的點F共有四個，坐標分別為F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【解析】

（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數；
②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．

解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，得 ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB = = =，

∴ =，

∴QE=（10﹣m），

∴S=CPQE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；

②∵S=CPQE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，

∴當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8的對稱軸為x=，

D的坐標為（3，8），Q（3，4），

當∠FDQ=90°時，F1（，8），

當∠FQD=90°時，則F2（，4），

當∠DFQ=90°時，設F（，n），

則FD2+FQ2=DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，

解得：n=6± ，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．