Question

【題目】已知一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=ax（x﹣2）的圖象相交于A（﹣1，b）和B，點P是線段AB上的動點（不與A、B重合），過點P作PC⊥x軸，與二次函數(shù)y=ax（x﹣2）的圖象交于點C．

（1）求a、b的值

（2）求線段PC長的最大值；

（3）若△PAC為直角三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=3；（2）當(dāng)m=時，PC有最大值，最大值為．（3）若△PAC為直角三角形，點P的坐標(biāo)為P1（2，6），P2（3，7）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得b，根據(jù)待定系數(shù)法，可得a；

（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)勾股定理，可得AP，CP的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解：（1）∵A（﹣1，b）在直線y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在拋物線y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）設(shè)P（m，m+4），則C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣）2+，

∵（m﹣）2≥0，

∴﹣（m﹣）2+≤．

∴當(dāng)m=時，PC有最大值，最大值為．

（3）如圖

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①當(dāng)AP2+AC2=PC2時，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化簡，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合題意，舍），m=2，

當(dāng)m=2時，m+4=6，即P（2，6）；

②當(dāng)AP2=AC2+PC2時，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化簡，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合題意，舍），m=﹣1（不符合題意，舍），m=3，

當(dāng)m=3時，m+4=7，

即（3，7），

綜上所述：若△PAC為直角三角形，點P的坐標(biāo)為P1（2，6），P2（3，7）．