Question

如圖，曲線拋物線的一部分，且表達式為：曲線與曲線關于直線對稱。

（1）求A、B、C三點的坐標和曲線的表達式；

（2）過點D作軸交曲線于點D，連接AD，在曲線上有一點M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請求出點M的橫坐標。

（3）設直線CM與軸交于點N，試問在線段MN下方的曲線上是否存在一點P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

 

  

Answer 1

（1）對點A、B、C坐標的意義要明白，點A與點B

是二次函數與橫軸的交點，點C是也縱軸的交點

關于意義的理解，就是將

進行了平移。

（2）要理解，只有當CM垂直平分AD時，才能在找到點M

故點M即為直線（C與AD的中點P連線）的交點

（3）顯然MN的值固定，即在上的點，到CM的距離最大的點，即與CM平行的直線與只有一個交點時，即為所求

（1）解：易求A（－1,0），B（3，0），C（0，），

(2)解：若AD垂直平分CM，則可知CDMA為菱形，此時點M（1,0）

顯然不在上；故直線CM垂直平分AD，取AD中點P，易求其坐標為

（1，）,故直線CN的解析式為：

求其與的交點坐標：

解之得：，（不合舍去）

故

（3）因為MN的長度固定，故點P到MN的距離最大時，△PMN的面積最大

故設：另一直線與相交于點P，很顯然它們只有一個交點時，滿足條件。

即：只有唯一一個解的時候，這個點就是點P

解之得：

將代入

故點P的坐標為