Question

14、解方程|x-1|+|x+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和-2的距離之和為5的點對應的x的值．在數軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或-2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖可以看出x=2；同理，若x對應點在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．

參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程|x+3|=4的解為

1和-7

．
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|+|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可以得到絕對值方程，可以轉化為數軸上，到某個點的距離的問題，即可求解；
（2）不等式|x-3|+|x+4|≥9表示到3與-4兩點距離的和，大于或等于9個單位長度的點所表示的數；
（3）|x-3|+|x+4|≤a對任意的x都成立，即求到3與-4兩點距離的和最小的數值．

解答：解：（1）方程|x+3|=4的解就是在數軸上到-3這一點，距離是4個單位長度的點所表示的數，是1和-7．
故解是1和-7；
（2）由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與3和-4的距離之和為大于或等于9的點對應的x的值．
在數軸上，即可求得：x≥4或x≤-5．

（3）|x-3|+|x+4|即表示x的點到數軸上與3和-4的距離之和，
當表示對應x的點在數軸上3與-4之間時，距離的和最小，是7．
故a≤7．

點評：正確理解題中敘述的題目的意義是解決本題的關鍵，本題主要考查了絕對值的意義，就是表示距離．