Question

（2012•拱墅區二模）如圖，已知梯形ABCD的下底邊長AB=8cm，上底邊長DC=1cm，O為AB的中點，梯形的高DO=4cm．動點P自A點出發，在AB上勻速運行，動點Q自點B出發，沿B→C→D→A勻速運行，速度均為每秒1個單位，當其中一個動點到達終點時，另一動點也同時停止運動．設點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為S（不能構成△OPQ的動點除外）．
（1）求S隨t變化的函數關系式及t的取值范圍；
（2）當t為何值時S的值最大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）先分別求出當0＜t＜4時，當4＜t≤5時，當5＜t≤6時，當6＜t≤8時，△OPQ的底邊和高，再根據面積公式即可求出S隨t變化的函數關系式；
（2）分別求出當0＜t＜4時，當4＜t≤5時，當5＜t≤6時，當6＜t≤8時，S_△OPQ的最大值，然后找出四個結果中最大的即可．

解答：解：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O為AB的中點，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如圖（1），當0＜t＜4時，點Q在BC上，點P在點O左側時，
過點Q作QF⊥AB，

則PO=4-t，BQ=t，

QF

CE

=

BQ

BC

，

QF

4

=

t

5

，
QF=

4

5

t，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（4-t）•

4

5

t=

8

5

t-

2

5

t²；
②如圖（2），當4＜t≤5時，

OP=t-4，QF=

4

5

t，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）•

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t；
③如圖（3），當5＜t≤6時，

OP=t-4，QF=4，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）×4=2t-8；
④如圖（4），當6＜t≤8時，

∵OA=OD=4
∴AD=

42+42

=4

2

，
∴AD+CD+CB=4

2

+1+5=6+4

2

，
∴AQ=6+4

2

-t，
∵

AQ

AD

=

QF

OD

，
∴

6+4 2 -t

4 2

=

QF

4

，
∴QF=

24+16 2 -4t

4 2

=4-

2

2

（t-6），
∴S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）×[4-

2

2

（t-6）]=-

2

4

t²+

5 2 +4

2

t-8-6

2

；

（2）當0＜t＜4時，t=2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為

8

5

；
當4＜t≤5時，t=5S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2；
當5＜t≤6時，t=6S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為4；
當6＜t≤8時，t=5+2

2

S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+

9 2

4

，
則t=5+2

2

S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+

9 2

4

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、二次函數的最值、勾股定理等，關鍵是根據題意畫出符合要求的所有圖形．