Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．
（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；
（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，

∵∠BAM+∠AMB=90°，

∴∠CBP+∠AMB=90°，

∴AM⊥BP，

∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，

∴AM⊥MN，且AM=MN，

∴MN∥BP，

∴四邊形BMNP是平行四邊形

（2）解：BM=MC．

理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，

∴∠BAM=∠CMQ，

又∵∠ABC=∠C=90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴ ，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴ = ，

∴ = ，

∴BM=MC．

【解析】（1）根據正方形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△BCP全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例可得 = ，再求出△AMQ∽△ABM，根據相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而得到 = ，即可得解．