Question

【題目】如圖，在□ABCD中，E為對角線AC上一點，連接DE，作EF⊥DE，交AD于點F，G為AD邊上一點，且AB＝AG，連接GE．

（1）如圖1，若點G為DF的中點，AF＝2，EG＝4，∠B＝60°，求AC的長；

（2）如圖2，連接CG交DE于點H，若EG∥CD，∠ACB＝∠DCG，求證：∠ECG＝2∠AEF．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）見解析．

【解析】

（1）過點C作CH⊥AD，交AD于點H，根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到FD和EG的長，即可得到AD的長，然后通過含有30°角的直角三角形的性質和勾股定理即可求出AC的長；

（2）根據平行四邊形和∠ACB＝∠DCG得到∠DAC＝∠DCG，再根據全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，等邊對等角及平行線的性質證明兩角的倍數關系．

（1）如圖，過點C作CH⊥AD，交AD于點H，

∵EF⊥DE，

∴△FED是直角三角形，

又G是斜邊FD的中點，

∴FD＝2EG＝2×4＝8，EG＝FG＝4，

∴AD＝AF+FD＝2+8＝10，

∵AG＝AF+GF，

∴AG＝2+4＝6，

∴CD＝AB＝AG＝6，

∵∠B＝60°，

∴∠HDC＝60°，

在Rt△AHC中，HD＝CD＝3，

HC＝HD＝3，

∵AH＝AD﹣HD＝10﹣3＝7，

在Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，

∴AC＝＝＝2；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCG，

∴∠DAC＝∠DCG，

∵AB＝AG，

∴CD＝AG，

∵EG∥CD，

∴∠AGE＝∠ADC，∠DCG＝∠EGC，

在△AEG和△CGD中，

∴△AEG≌△CGD（ASA），

∴AE＝CG，GE＝DG，

∴∠GED＝∠GDE，

∵EF⊥ED，

∴∠FED＝90°，

∴∠GED+∠FEG＝90°，

∴∠GDE+∠DFE＝90°，

∴∠FEG＝∠DFE，

又∠GCD＝∠EGC＝∠DAC，

在EG上截取GM＝AF，連接CM，

在△AFE和△GMC中，

，

∴△AFE≌△GMC（SAS），

∴∠AEF＝∠GCM，∠AFE＝∠GMC，

∴∠DFE＝∠EMC，

∵∠FEG＝∠DFE，

∴∠FEG＝∠EMC，

∴FE∥CM，

∴∠AEF＝∠ECM，

∴∠AEF＝∠ECM＝∠GCM，

∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝2∠AEF．