Question

【題目】在ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）若四邊形EHFG是矩形，則ABCD應滿足什么條件？（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥CF，AB=CD，

∵E是AB中點，F是CD中點，

∴AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF，

∴四邊形FGEH是平行四邊形

（2）解：當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，平行四邊形EHFG是矩形．

∵E，F分別為AB，CD的中點，且AB=CD，

∴AE=DF，且AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AD=EF，

又∵AB=2AD，E為AB中點，則AB=2AE，

于是有AE=AD= AB，

這時，EF=AE=AD=DF= AB，∠EAD=∠FDA=90°，

∴四邊形ADFE是正方形，

∴EG=FG= AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，

∴此時，平行四邊形EHFG是矩形．

【解析】（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個內角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個矩形．

【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．