Question

【題目】如圖1，等邊△ABC邊長為6，AD是△ABC的中線，P為線段AD（不包括端點A、D）上一動點，以CP為一邊且在CP左下方作如圖所示的等邊△CPE，連結BE．
（1）點P在運動過程中，線段BE與AP始終相等嗎？說說你的理由；
（2）若延長BE至F，使得CF=CE=5，如圖2，問： ①求出此時AP的長；
②當點P在線段AD的延長線上時，判斷EF的長是否為定值，若是請直接寫出EF的長；若不是請簡單說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=AP．

理由：∵△ABC和△CPE均為等邊三角形，

∴∠ACB=∠PCE=60°，AC=BC，CP=CE．

∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°，

∴∠ACP=∠BCE．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE．

∴BE=AP

（2）解：①如圖2所示：過點C作CH⊥BE，垂足為H．

∵AB=AC，AD是BC的中點，

∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．

∵由（1）可知：△ACP≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．

∵在Rt△BCH中，∠HBC=30°，

∴HC= BC=3，NH= BC=3 ．

∵在Rt△CEH中，EC=5，CH=3，

∴EH= =4．

∴BE=HB﹣EH=3 ﹣4．

∴AP=3 ﹣4．

②如圖3所示：過點C作CH⊥BE，垂足為H．

∵△ABC和△CEP均為等邊三角形，

∴AC=BC，CE=PC，∠ACB=∠ECP．

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP，即∠BCE=∠ACP．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE．

∴∠CBH=∠CAP=30°．

∵在Rt△BCH中，∠CBH=30°，

∴HC= BC=3．

∵FC=CE，CH⊥FE，

∴FH=EH．

∴FH=EH= =4．

∴EF=FH+EH=4+4=8

【解析】（1）先證明∠ACP=∠BCE，然后依據SAS證明△ACP≌△BCE，由全等三角形的性質可得到BE=AP；（2）過點C作CH⊥BE，垂足為H，先依據等腰三角形三線合一的性質求得∠CAD=30°，然后由△ACP≌△BCE可求得∠CBH=30°，依據含30°直角三角形的性質可求得CH的長，從而可求得BH的長，然后在△ECH中依據勾股定理可求得EH的長，故此可求得BE的長，最后根據AP=BE求解即可；（3）首先根據題意畫出圖形，過點C作CH⊥BE，垂足為H．先證△ACP≌△BCE，從而得到∠CBH=30°，由含30°直角三角形的性質可求得CH的長，依據勾股定理可求得FH的長，然后由等腰三角形三線合一的性質可得到HE=FH，故此可求得EF的長．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．