Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．
（1）出發2秒后，求△ABP的周長．
（2）問t滿足什么條件時，△BCP為直角三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，動點P從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，速度為每秒1cm，

∴出發2秒后，則CP=2cm，

∵∠C=90°，

∴PB= = cm，

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+ =7+ （cm）

（2）解：∵AC=4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，

∴P在AC上運動時△BCP為直角三角形，

∴0＜t≤4，

當P在AB上時，CP⊥AB時，△BCP為直角三角形，

∵ ×AB×CP= AC×BC，

∴ ×5×CP= 3×4，

解得：CP= cm，

∴AP= = cm，

∴AC+AP= cm，

∵速度為每秒1cm，

∴t= ，

綜上所述：當0＜t≤4或t= ，△BCP為直角三角形

（3）解：當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t+2t﹣3=3，

∴t=2；

當P點在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t﹣4+2t﹣8=6，

∴t=6，

∴當t=2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

【解析】（1）首先利用勾股定理計算出AC長，根據題意可得CP=2cm，再利用勾股定理計算出PB的長，進而可得△ABP的周長；（2）當P在AC上運動時△BCP為直角三角形，由此可得0＜t≤4；當P在AB上時，CP⊥AB時，△BCP為直角三角形，首先計算出CP的長，然后再利用勾股定理計算出AP長，進而可得答案．（3）分類討論：當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=3；當P點在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和勾股定理的逆定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．