Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，正方形ABCD繞點A（0，6）旋轉，當點B落在x軸上時，點C剛好落在反比例函數（k≠0，x＞0)的圖像上．已知sin∠OAB＝.

（1）求反比例函數的表達式；

（2）反比例函數的圖像是否經過AD邊的中點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 不經過AD邊的中點，理由見解析;

【解析】

（1）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，利用正弦的定義得到sin∠OAB=，設OB=，則AB=5，利用勾股定理即可求得，接著證明△AOB≌△BEC得到AO=BE，OB=CE，從而得到C的坐標，然后利用待定系數法求反比例函數解析式；
（2）利用平移的方法確定D點坐標，再利用線段中點坐標公式得到線段AD的中點坐標，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷反比例函數的圖象是否經過AD邊的中點．

（1）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，

∵A（0，6），
∴OA=6，
在Rt△OAB中，sin∠OAB=，

設OB=，則AB=5，

∴OA=，

∴，

解得：，即OB=，

∴點B的坐標為(3，0)，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
而∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，∠OAB=∠CBE=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO=BE=6，OB=CE=3，

∴點C的坐標為(9，3)，

∵點C在反比例函數的圖象上，
∴，

∴反比例函數的表達式為；

（2）反比例函數的圖象不經過AD邊的中點．

理由如下：
∵點B向左平移3個單位，再向上平移6個單位得到A點，

∴點C向左平移3個單位，再向上平移6個單位得到D點，

∴D點坐標為(6，9)，

∴線段AD的中點坐標為(，)，即(3，3.5)，

∵當x=3時，，

∴反比例函數圖像不經過AD邊的中點．