Question

【題目】如圖，正方形的邊長為分別是邊上的動點，和交于點．

如圖(1)，若為邊的中點，， 求的長；

如圖(2)，若點在上從向運動，點在．上從向運動．兩點同時出發，同時到達各自終點，求在運動過程中，點運動的路徑長：

如圖(3)， 若分別是邊上的中點，與交于點，求的正切值．

Answer 1

【答案】；；

【解析】

（1）延長BF、CD交于點H，根據勾股定理求出AE，證明△AFB∽△DFH，根據相似三角形的性質求出DH，再證明△AGB∽△EGH，最后根據相似三角形的性質計算即可；

（2）取AB的中點O，連接OG，證明△BAF≌△ADE，再確定∠AGB=90°，再根據直角三角形的性質求出OG，最后運用弧長公式計算即可；

（3）作FQ⊥BD于Q，設正方形的邊長為2a，再用a表示出BQ、FQ，最后根據正切的定義即可解答．

解：（1）如圖，延長BF、CD交于點H

∵E為邊CD的中點

∴DE=DC=3

由勾股定理可得，

∵四邊形ABCD為正方形

∴AB∥CD

∴△AFB∽△DFH

∴

∵AB=6，

∴DH=3，EH=6

∵AB//CD

∴△AGB∽△EGH，

∴

∴ ；

（2）如圖：

取AB的中點O，連接OG，

由題意可得，AF=DE

在△BAF和△ADE中

BA=AD， ∠BAF=∠ADE，AF=DE

∴△BAF≌△ADE（SAS）

∴∠ABF= ∠DAE

∵∠BAG+ ∠DAE=90°

∴∠BAG+ ∠ABG=90°，即∠AGB=90°

∵點O是AB的中點，

∴OG=AB=3

當點E與點C重合、點F與得D重合時，∠AOG=90°

∴點G運動的路徑長為：；

（3）如圖，作FQ⊥BD于Q，設正方形的邊長為2a

∵點F是邊AD上的中點

∴AF=DF=a，

∵四邊形ABCD為正方形

∴，∠ADB=45°

∴

∴

∴．