Question

【題目】如圖，點P( x， y1)與Q (x， y2)分別是兩個函數圖象C1與C2上的任一點. 當a ≤ x ≤ b時，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，則稱這兩個函數在a ≤ x ≤ b上是“相鄰函數”，否則稱它們在a ≤ x ≤ b上是“非相鄰函數”．

例如，點P(x， y1)與Q (x， y2)分別是兩個函數y = 3x+1與y = 2x - 1圖象上的任一點，當-3 ≤ x ≤ -1時，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通過構造函數y = x + 2，并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性質，得到該函數值的范圍是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此這兩個函數在-3 ≤ x ≤ -1上是“相鄰函數”．

（1）判斷函數y = 3x + 2與y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否為“相鄰函數”，并說明理由；

（2）若函數y = x2 - x與y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數”，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）

【解析】

（1）通過構建函數，根據一次函數的性質可得出該函數在0≤x≤2上單調遞增，分別代入x=0、x=2即可得出y的取值范圍，由此即可得出結論；

（2）由函數y=x2-x與y = x - a在0≤x≤2上是“相鄰函數”，構造函數，根據拋物線在0 ≤ x ≤ 2函數的取值范圍，令其最大值≤1、最小值≥-1，解關于a的不等式組即可得出結論．

解：（1）是“相鄰函數”．

理由如下：，構造函數．

在上隨著的增大而增大，

當時，函數有最大值1，當時，函數有最小值，即.

．

即函數與在上是“相鄰函數”．

（2），構造函數．

，頂點坐標為

又拋物線的開口向上，

當時，函數有最小值，

當或時，函數有最大值，即，

函數與在上是“相鄰函數”，

，即，

．