Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90^o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O₁的圓心O₁從點A開始沿折線A—D—C以1cm/s的速度向點C運動，⊙O₂的圓心O₂從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁、O₂分別從點A、點B同時出發，運動的時間為ts。

小題1:（1）設經過t秒，⊙O₂與腰CD相切于點F，過點F畫EF⊥DC，交AB于E，則EF=          。
小題2:（2）過E畫EG∥BC，交DC于G，畫GH⊥BC，垂足為H．則∠FEG=             。
小題3:（3）求此時t的值。
小題4:（4）在0＜t≤3范圍內，當t為何值時，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

小題1:（1）EF＝4cm．………………1分
小題2:（2）∠FEG =30⁰………………………2分
小題3:（3）設點O₂運動到點E處時，⊙O₂與腰CD相切．依題意畫圖，如圖所示，
在直角△CGH中，∠C =60⁰，∠CG H=30⁰，GH=，    ∴CH=t，BH=GE=9－t………4分
在Rt△EFG中，∠FEG =30⁰，EF=4，GE=9－t
∴由勾股定理可得      EB＝GH＝cm．… 6分
所以t＝（）≈4.38秒．……7分
方法二，延長EA、FD交于點P．通過相似三角形，也可求出EB長．
方法三，連結ED、EC，根據面積關系，列出含有t的方程，直接求t．
不同解法可參照給分。
小題4:（4）由于0<t≤3，所以，點O₁在邊AD上．...8分
如圖所示，連結O₁O₂，由兩圓外切可知O₁O₂＝6cm．…… 9分
由勾股定理得，，即．………………11分
解得t₁＝3，t₂＝6（不合題意，舍去）．……13分
所以，經過3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．…………14分

略