Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，且點與點的坐標分別為．，點是拋物線的頂點．點為線段上一個動點，過點作軸于點，若．

（1）求二次函數解析式；

（2）設的面積為，試判斷有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒有，請說明理由；

（3）在上是否存在點，使為直角三角形？若存在，請寫出點的坐標若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

（1）將點B，C的坐標代入y=-x2+bx+c即可；

（2）把（1）中的一般式配成頂點式可得到M（1，4），設直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數法求出直線BM的解析式，則P（m，-2m+6）（1≤m＜3），于是根據三角形面積公式得到S=-m2+3m，然后根據二次函數的性質即可解決問題；

（3）討論：∠PDC不可能為90°；當∠DPC=90°時，易得-2m+6=3，解方程求出m即可得到此時P點坐標；當∠PCD=90°時，利用勾股定理得到和兩點間的距離公式得到m2+（-2m+3）2+32+m2=（-2m+6）2，然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時P點坐標．

解：（1）把，代入，

得

解得

∴拋物線解析式為：；

（2）∵，

∴頂點，

∵，

∴設的解析式為：

則有

解得，

∴的解析式為：，

∵，軸

∴，則，，

∴，

∵

∴有最大值，

當時，；

（3）存在，

①時，如圖①

∵軸

∴時，軸

∴，即，

解得：，

∴此時；

②時，如圖②，

∵軸，

∴，

∴，

又∵，

∴，

即，

∵，，，

∴，，，

∴，

∴，

，

解得：（舍），，

∴；

③∵軸，在軸的正半軸上，

∴不可能等于；

綜上所述，或．