Question

【題目】已知，如圖，等邊△ABC中，AD=DC，BF=FC，△BDE是等邊三角形．求證：四邊形AEBF是矩形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

根據等邊三角形的性質可得AF=BD=BE，再求出∠EBF=∠AFB=90°，連接EF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△EFB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=EF，再證出四邊形AEBF是平行四邊形，然后根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．

證明：連接EF,

∵等邊△ABC中，點D是AC的中點，F是BC的中點，
∴AF=BD，∠CBD=30°，∠AFB=90°
∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，

∴∠EBF=∠DBE+∠CBD=90°
∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB，
在△ABF和△EFB中，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB=EF，
∵∠AFB=∠EBF=90°，
∴AF∥BE，
又∵AF=BE，
∴四邊形AEBF是平行四邊形，
∵AB=EF，
∴四邊形AEBF是矩形，
故AB=EF，且四邊形AEBF是矩形．