Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底邊上的高，∠A=30°．
（1）CD與AB有什么數(shù)量關系？請說明理由；
（2）過點D作DD₁⊥BC，垂足為D₁；D₁D₂⊥AB，垂足為D₂；D₂D₃⊥BC，垂足為D₃；D₃D₄⊥AB，垂足為D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足為D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足為D_2n+1（n為非零自然數(shù)）．若CD=a，請用含a的代數(shù)式表示下表中線段的長度（請將結果直接填入表中）；

線段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
長度	3 4 a			…

（3）某工業(yè)園區(qū)一個車間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度AB為16米，CD是該屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n為輔柱．若整個屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長度約為多少米？（結果精確到0.1米）

Answer 1

分析：（1）根據30°的正切值易得CD與AD之間的關系，而根據等腰三角形三線合一的性質可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根據60°的正弦值得到DD1=

3

2

a；同理可得D₁D₂=（

3

2

）²a=

3

4

a，按規(guī)律可得D₃D₄=（

3

2

）⁴a=

9

16

a，D₅D₆=（

3

2

）⁶a=

27

64

a，D_2n-1D_2n=（

3

2

）²ⁿa=（

3

4

）ⁿa；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的結論，可算出D₇D₈的長度，利用30°的余弦值可求得所求線段的長度．

解答：解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=

1

2

AB．
在Rt△ACD中，

CD

AD

=tan30°，∴CD=ADtan30°=

1

2

AB×

3

3

=

3

6

AB．

（2）填表依次為：(

3

4

)2a（或

32

42

a或

9

16

a），(

3

4

)3a
（或

33

43

a或

27

64

a），(

3

4

)na（或

3n

4n

a）

（3）∵整個屋架有18根輔柱，
∴右側最短一根輔柱為D₈D₉，倒數(shù)第二根為D₇D₈，
D₈D₉=D₇D₈cos30°=（

3

4

）⁴a×cos30°=（

3

4

）⁴×

3

6

AB×cos30°
=（

3

4

）⁴×

3

6

×16×cos30°=

81

64

≈1.3（米）．
答：最短一根輔柱的長度約為1.3米．

點評：本題主要運用了等腰三角形的性質及銳角三角函數(shù)，注意總結規(guī)律的得出．