Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=x2+mx+2的圖象與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交交于點B，且OA：OB=1：2．設此二次函數圖象的頂點為D．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數圖象沿y軸向上或向下平移后經過點C．請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數解析式；
（3）設（2）中平移后所得二次函數圖象與y軸的交點為B1 ， 頂點為D1 ． 點P在平移后的二次函數圖象上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=x2+mx+2的圖象與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交交于點B，且OA：OB=1：2，

∴B（0，2），A（1，0），

把A（1，0）代入y=x2+mx+2得m=﹣3，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣3x+2

（2）

解：如圖1中，

由題意可知，C（3，1），作CG∥OB交拋物線于G．

x=3時，y=2，

∴點G坐標（3，2），

∴把拋物線向下平移1個單位即可經過點C，

∴平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣3x+1

（3）

解：如圖2中，設P（m，m2﹣3m+1），

∵BB1=DD1，△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，

∴m=2| ﹣m|，

∴m=1或3，

∴點P坐標為（1，﹣1）或（3，1）

【解析】（1）先求出A、B兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．（2）如圖1中，由題意可知，C（3，1），作CG∥OB交拋物線于G．x=3時，y=2，推出點G坐標（3，2），所以把拋物線向下平移1個單位即可經過點C，由此即可解決問題．（3）如圖2中，設P（m，m2﹣3m+1），由題意BB1=DD1 ， △PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，可得m=2| ﹣m|，解方程即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．