Question

【題目】已知三角形紙片ABC的面積為48，BC的長為8．按下列步驟將三角形紙片ABC進行裁剪和拼圖：

第一步：如圖1，沿三角形ABC的中位線DE將紙片剪成兩部分．在線段DE上任意取一點F，在線段BC上任意取一點H，沿FH將四邊形紙片DBCE剪成兩部分；

第二步：如圖2，將FH左側紙片繞點D旋轉180°，使線段DB與DA重合；將FH右側紙片繞點E旋轉180°，使線段EC與EA重合，再與三角形紙片ADE拼成一個與三角形紙片ABC面積相等的四邊形紙片．

圖1 圖2

（1）當點F，H在如圖2所示的位置時，請按照第二步的要求，在圖2中補全拼接成的四邊形；

（2）在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小值為_________．

Answer 1

【答案】28

【解析】

（1）利用旋轉的旋轉即可作出圖形；

（2）先求出的邊長邊上的高為，進而求出與間的距離為，再判斷出最小時，拼成的四邊形的周長最小，即可得出結論.

（1）∵DE是△ABC的中位線，

∴四邊形BDFH繞點D順時針旋轉，點B和點A重合，

四邊形CEFH繞點E逆時針旋轉，點C和點A重合，

∴補全圖形如圖1所示，

（2）∵△ABC的面積是48，BC=8，

∴點A到BC的距離為12，

∵DE是△ABC的中位線，

∴平行線DE與BC間的距離為6，

由旋轉知，∠DAH'=∠B，∠CAH'=∠C，

∴∠DAH'+∠BAC+∠CAH'=180°，

∴點H'，A，H'在同一條直線上，

由旋轉知，∠AEF'=∠CEF，

∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，

∴點F，E，F'在同一條直線上，

同理：點F，D，F'在同一條直線上，

即：點F'，F'在直線DE上，

由旋轉知，AH'=BH，AH'=CH，DF'=DF，EF'=EF，F'H'=FH=F'H'，

∴F'F'=2DE=BC=H'H'，

∴四邊形F'H'H'F'是平行四邊形，

∴F'H'H'F'的周長為2F'F'+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，

∵拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小時，FH最小，

即：FH⊥BC，

∴FH=6，

∴周長的最小值為16+2×6=28，

故答案為28．