Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動點Q從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿AB向點B移動；同時點P從點B出發，仍以每秒1個單位的速度，沿BC向點C移動，連接QP，QD，PD．若兩個點同時運動的時間為x秒（0＜x≤3），解答下列問題：

（1）設△QPD的面積為S，用含x的函數關系式表示S；當x為何值時，S有最大值？并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=4，CD=AB=3，

當運動x秒時，則AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，

∴S△ADQ= ADAQ= ×4x=2x，S△BPQ= BQBP= （3﹣x）x= x﹣ x2，S△PCD= PCCD= （4﹣x）3=6﹣ x，

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（ x﹣ x2）﹣（6﹣ x）= x2﹣2x+6= （x﹣2）2+4，

即S= （x﹣2）2+4，

∴S為開口向上的二次函數，且對稱軸為x=2，

∴當0＜x＜2時，S隨x的增大而減小，當2＜x≤3時，S隨x的增大而增大，

又當x=0時，S=5，當S=3時，S= ，但x的范圍內取不到x=0，

∴S不存在最大值，當x=2時，S有最小值，最小值為4

（2）

解：存在，理由如下：

由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，

當QP⊥DP時，則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，

∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，

∴△BPQ∽△PCD，

∴ ，即 ，解得x= （舍去）或x= ，

∴當x= 時QP⊥DP

【解析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積，則可表示出S，再利用二次函數的增減性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，當QP⊥DP時，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質可得到關于x的方程，可求得x的值．本題為四邊形的綜合應用，涉及知識點有矩形的性質、二次函數的最值、相似三角形的判定和性質及方程思想等．在（1）中求得S關于x的關系式后，求S的最值時需要注意x的范圍，在（2）中證明三角形相似是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
【考點精析】利用二次函數的最值和矩形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．