Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，分別交直線BC、AD于點(diǎn)E、F．

（1）當(dāng)α=　 　°，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．

①α=　 　°，構(gòu)造的四邊形是菱形；

②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求出該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)α=90°，四邊形ABEF是平行四邊形（2）①45或90②

【解析】

（1）由AB⊥AC得到∠BAC=90°，然后根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得AB=OA=2，即△AOB是等腰直角三角形，則∠AOB=45°，再根據(jù)平行四邊形的判定，當(dāng)EF∥AB時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形，可得EF⊥AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得α=90°；

（2）①同（1）的判斷，由菱形的判定可得到α的度數(shù)；

②先根據(jù)勾股定理求出BC的長，然后根據(jù)同一個(gè)三角形的面積的不同求法，得到平行線間的距離，由矩形的判定與性質(zhì)，可得分情況求解.

(1) 90°；

(2)① 45°或90°；

②∵AB⊥AC，AB=2，AC=4，∴BC=2，

根據(jù)條件，可得AD與BC的距離h=.

如圖①，

當(dāng)EF=AC時(shí)，四邊形AECF為矩形，矩形AECF的對角線長為4，

∴，

∴矩形AECF的面積=.

如圖②，

當(dāng)EF=BD時(shí)，四邊形AECF為矩形，矩形AECF的對角線長為4，

∴，

∴矩形AECF的面積=.