Question

16．如圖，⊙M交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點．交y軸于C（0，-3），D（0，1）兩點．
（1）求點M的坐標；
（2）求弧BD的長．

Answer 1

分析 （1）過M點作ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，連接MB，MC，由垂徑定理得出EB=$\frac{1}{2}$AB=2，得出OE=1，同理可得OF=1，證四邊形OEMF為正方形，得出EM=EF=1，即可得出結果；
（2）連接MD，BC，由勾股定理可得BM=$\sqrt{5}$，證出∠BCO=45°，得出∠BMD=90°，由弧長公式即可得出結果．

解答 解：（1）如圖1所示，過M點作ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，連接MB，MC，
則EB=$\frac{1}{2}$AB=2，四邊形OENF是矩形，
∴OE=1，
同理可得OF=1，
∴OEOF，
∴四邊形OEMF為正方形，
∴EM=EF=1，
∴M（1，-1）；
（2）連接MD，BC，如圖2所示：
由勾股定理可得BM=$\sqrt{5}$，
∵∠BOC=90°，OB=OC，
∴∠BCO=45°，
∴∠BMD=90°，
∴弧BD的長=$\frac{90π×\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π．

點評 本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質、勾股定理、正方形的判定與性質、圓周角定理、弧長公式等知識；熟練掌握垂徑定理，由圓周角定理求出∠BMD是解決問題（2）的關鍵．