Question

【題目】如圖，折疊邊長為a的正方形ABCD，使點C落在邊AB上的點M處（不與點A，B重合），點D落在點 N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F，MN與邊AD交于點G．

證明：（1）△AGM∽△BME；

（2）若M為AB中點，則；

（3）△AGM的周長為2a．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）根據正方形的性質和折疊的性質得出∠A=∠B，∠AGM=∠BME，再利用相似三角形的判定證明即可；

（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可；

（3）設BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質證明即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴∠AMG＋∠AGM＝90°．

∵EF為折痕，∴∠GME＝∠C＝90°，

∴∠AMG＋∠BME＝90°，

∴∠AGM＝∠BME．

在△AGM與△BME中，

∵∠A＝∠B，∠AGM＝∠BME，

∴△AGM∽△BME．

（2）∵M為AB中點，∴BM＝AM＝．

設BE＝x，則ME＝CE＝a－x．

在Rt△BME中，∠B＝90°，

∴BM2＋BE2＝ME2，即()2＋x2＝(a－x)2，

∴x＝a，∴BE＝a，ME＝a．

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴＝＝＝．

∴AG＝BM＝a，GM＝ME＝a，

∴．

（3）設BM＝x，則AM＝a－x，ME＝CE＝a－BE．

在Rt△BME中，∠B＝90°，

∴BM2＋BE2＝ME2，即x2＋BE2＝(a－BE)2，

解得：BE＝－．

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴＝＝．

∵C△BME＝BM＋BE＋ME＝BM＋BE＋CE＝BM＋BC＝a＋x，

∴C△AGM＝C△BME·＝(a＋x)·＝2a．