Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC:∠BOC=1:3，將一直角△MON的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．繞點O順時針旋轉△MON，其中旋轉的角度為α（0<α<360°）.

（1）將圖1中的直角△MON旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時α為    度；

（2）將圖1中的直角△MON旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM
與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；
（3）在上述直角△MON從圖1旋轉到圖3的位置的過程中，若直角△MON繞點O按每秒25°的速度順時針旋轉，當直角△MON的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時直角△MON繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

（1）270（2）∠AOM－∠NOC=45°（3）t=4.5s或11.7s．

試題分析：（1）270
（2）解：∠AOM－∠NOC=45°，∵∠AOC︰∠BOC=1︰3，∵∠AOC＋∠BOC=180°，
∴∠AOC=45°，∠BOC=135°，∴∠1＋∠2=45°　　①
∵∠MON=90°，∴∠2＋∠3=90°　　②
由①②可得：∠3－∠1=45°，即∠AOM－∠NOC=45°．
（3）解：1°當ON平分∠AOC時，由（2）可知：∠AOC=45°，∴∠1＋∠2=45°.
∵ON平分∠AOC，∴∠1=∠2=22.5°，∵∠MON=90°，∴∠2＋∠3=90°，
∴∠3=67.5°，∴旋轉角度為：180°－67.5°=112.5°，．
2°當ON的反向延長線平分∠AOC時．由（2）可知：∠AOC=45°．∴∠1＋∠2=45°.
∵OE平分∠AOC，∴∠1=∠2=22.5°，∵∠MON=90°，∴∠3＋∠4=90°．
∵∠3=∠2=22.5°，∴∠4=67.5°．
∴旋轉角度為：360°－67.5°=292.5°．．∴t=4.5s或11.7s．
點評：本題難度較大，主要考查學生對幾何中心旋轉知識點的掌握，綜合運用幾何性質與旋轉性質解決問題的能力。為中考常考題型，要注意培養數形結合思想，運用到考試中去。