Question

【題目】如圖1，拋物線：與直線l：交于x軸上的一點A，和另一點

求拋物線的解析式；

點P是拋物線上的一個動點點P在A，B兩點之間，但不包括A，B兩點于點M，軸交AB于點N，求MN的最大值；

如圖2，將拋物線繞頂點旋轉后，再作適當平移得到拋物線，已知拋物線的頂點E在第一象限的拋物線上，且拋持線與拋物線交于點D，過點D作軸交拋物線于點F，過點E作軸交拋物線于點G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的橫坐標為時，四邊形DFEG為菱形

【解析】

求直線l與x軸交點A坐標、B坐標，用待定系數法求拋物線的解析式．

延長PN交x軸于點H，設點P橫坐標為m，由軸可得點N、H橫坐標也為m，即能用m表示PN、NH、AH的長．由及對頂角可得發現在中，MN與PN比值即為，故先在中求的值，再代入，即得到MN與m的函數關系式，配方即求得MN最大值．

設點，所以可設拋物線頂點式為令兩拋物線解析式列得關于x的方程，解得兩拋物線的另一交點D即為拋物線的頂點，故DG，且求得DF平行且等于GE，即四邊形DFEG首先一定是平行四邊形．由DFEG為菱形可得，故此時為等邊三角形．利用特殊三角函數值作為等量關系列方程，即求得e的值．

解：直線l：交x軸于點A，

，解得：，

，

點在直線l上，

，

，

拋物線：經過點A、B，

，

解得：，

拋物線的解析式為，

如圖1，延長PN交x軸于點H，

，

設 ，

軸，

，

，，

，，

中，，

，

于點M，

，

，

，

中，，

，

的最大值為，

存在滿足條件的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形，

如圖2，連接DE，過點E作于點Q，

，

拋物線頂點為 ，

設 ，

拋物線頂點式為，

當，

解得：，，

兩拋物線另一交點為拋物線頂點，

軸，軸，

，，

四邊形DFEG是平行四邊形，

若DFEG為菱形，則，

由拋物線對稱性可得：，

，

是等邊三角形，

，

，

解得：舍去，，

點的橫坐標為時，四邊形DFEG為菱形．