Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，BD、CD分別是△ABC兩個內角∠ABC、∠ACB的平分線．

①若∠A＝70°，求∠BDC的度數．

②∠A＝α，請用含有α的代數式表示∠BDC的度數．(直接寫出答案)

（2）如圖2，BE、CE分別是△ABC兩個外角∠MBC、∠NCB的平分線．若∠A＝α，請用含有α的代數式表示∠BEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）①125°；②∠A＝90°+α；（2）∠BEC＝90°﹣α．

【解析】

（1）①根據角平分線定義可得到∠ABD＝∠CBD，∠BCD＝∠ACD，再根據三角形內角和定理得到∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A＝180°，利用等量代換可得2（180°﹣∠BDC）+∠A＝180°，進而得到∠BDC＝90°+∠A;②直接利用①的結論寫出即可

（2）利用角平分線定義得到∠EBC＝∠MBC，∠BCE＝∠BCM，再由三角形外角性質得到∠CBM+∠BCN＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，進而得∠EBC+∠BCE＝（∠MBC+∠BCN）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，再在△DBC中利用內角和定理得到∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE），進行化簡即可得到結論.

解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點D，

∴∠ABD＝∠CBD，∠BCD＝∠ACD，

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A＝180°，

∴2∠DBC+2∠BCD+∠A＝180°，

∴2（180°﹣∠BDC）+∠A＝180°，

∴∠BDC＝90°+∠A，

∵∠A＝70°，

∴∠BDC＝90°+×70°＝90°+35°＝125°．

②利用①得到的∠BDC＝90°+∠A，直接表示出∠BDC＝90°+α．

（2）∵BE、CE分別是△ABC兩個外角∠MBC、∠NCB的平分線，

∴∠EBC＝∠MBC，∠BCE＝∠BCM，

∵∠CBM、∠BCN是△ABC的兩個外角

∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A

∴∠EBC+∠BCE＝（∠MBC+∠BCN）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，

在△DBC中，

∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）

＝180°﹣（90°+∠A）

＝90°﹣∠A，且∠A＝α，

∴∠BEC＝90°﹣α．