Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑CD=6，A，B為圓周上兩點，且四邊形OABC是平行四邊形。過A點作直線EF∥BD，分別交CD，CB的延長線于點E，F，AO與BD交于G點．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四邊形的性質得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以OA⊥EF，于是根據切線的判定定理可得到EF是⊙O的切線；

（2）連接OB，如圖，利用平行四邊形的性質得OA=BC，則OB=OC=BC，于是可判斷△OBC為等邊三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定義可求出AE的長．

試題解析：（1）證明：∵CD為直徑，∴∠DBC=90°，∴BD⊥BC，

∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AO∥BC，∴BD⊥OA，

∵EF∥BD，∴OA⊥EF，∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接OB，如圖，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA=BC，

而OB=OC=OA，∴OB=OC=BC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠C=60°，∴∠AOE=∠C=60°，

在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=，∴AE=3tan60°=3．