Question

操作與探究：
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點的坐標為（1,0）．將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉45，再將其延長到，使得，得到線段；又將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉45，再將其延長到，使得，得到線段，如此下去，得到線段，，…，．

（1）寫出點M₅的坐標；
（2）求的周長；
（3）我們規定：把點（0,1,2,3…）的橫坐標，縱坐標都取絕對值后得到的新坐標稱之為點的“絕對坐標”．根據圖中點的分布規律，請寫出點的“絕對坐標”．

Answer 1

（1）M₅（―4，―4）（2）的周長是（3）①當時（其中=0，1，2，3，…），點在軸上，則（） 
②當時（其中=1，2，3，…），點在軸上，點（） 
③當=1，2，3，…，時，點在各象限的分角線上，則點（）

試題分析：解：（1）M₅（―4，―4） 
（2）由規律可知，,，  
∴的周長是  
（3）解法一：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，點的“絕對坐標”可分三類情況：
令旋轉次數為
① 當點M在x軸上時: M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（）,…，
即：點的“絕對坐標”為（）。  
② 當點M在y軸上時: M₂，M₆，M₁₀，M₁₄,……，
即：點的“絕對坐標”為．  
③ 當點M在各象限的分角線上時：M₁，M₃，M₅，M₇   ，即：的“絕對坐標”為．  
解法二：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：
①當時（其中=0，1，2，3，…），點在軸上，則（） 
②當時（其中=1，2，3，…），點在軸上，點（） 
③當=1，2，3，…，時，點在各象限的分角線上，則點（） 
點評：本題難度較大，主要考查學生對幾何題型綜合探究規律綜合運用的掌握。為中考常考題型，要求學生多做探究訓練，總結分析規律，運用到考試中去。