Question

如圖，已知，正方形紙片ABCD的邊長為4，點P在BC邊上，BP＝1，點E在AB邊上，且∠BPE＝60°，沿PE翻折△EBP得到△EB′P． F是CD邊上一點，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，使點Cˊ落在射線PBˊ上．

（1）求證：EB′// C′F；
（2）連接B′F、C′E，求證：四邊形EB′F C′是平行四邊形．

Answer 1

（1）根據正方形的性質可得∠B＝∠C＝90°，根據折疊的性質可得∠EB′P＝∠B＝90°即∠EB′C′＝90°，∠FC′P＝∠C＝90°，即可得到∠EB′C′＝∠FC′P，從而證得結論；
（2）先解Rt△EBP求得BE的長，再根據折疊的性質可得∠FPC＝30°，根據含30°的直角三角形的性質可證得BE＝FC即EB′＝ FC′，再結合EB′// C′F即可證得結論．

試題分析：（1）∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°．
∵沿PE翻折△EBP得到△EB′P，
∴∠EB′P＝∠B＝90°即∠EB′C′＝90°．
∵沿PF翻折△FCP得到△FC′P，
∴∠FC′P＝∠C＝90°．
∴∠EB′C′＝∠FC′P．
∴EB′// C′F；
（2）在Rt△EBP中，
∵∠BPE＝60°，BP＝1，
∴BE＝．
∵沿PE翻折△EBP得到△EB′P，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，
∴∠FPC＝30°
∵BC＝4，BP＝1，
∴PC＝3．
∴FC＝
∴BE＝FC即EB′＝ FC′
又∵EB′// C′F，
∴四邊形EB′F C′是平行四邊形．
點評：特殊四邊形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.