Question

在中，，，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線、于、兩點. 如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的三種情況，試探究：

（1）三角板繞點旋轉，觀察線段和之間有什么數量關系？并結合圖②加以證明；
（2）三角板繞點旋轉，是否能成為等腰三角形？若能，寫出所有 為等腰三角形時的長（直接寫出答案即可）；若不能，請說明理由;
（3）如圖，若將三角板的直角頂點放在斜邊上的處，且，和前面一樣操作，試問線段和之間有什么數量關系？并結合圖④證明你的結論.

Answer 1

（1）PD=PE （2）能成為等腰三角形；0，1， （3）

試題分析：（1）PD=PE；將一塊等腰直角三角板PDE的直角頂點放在斜邊的中點處，將三角板繞點旋轉，根據旋轉的特征，旋轉過程中圖形的形狀、大小不變，所以PD=PE
（2）能成為等腰三角形；在中，，，是等腰直角三角形；當CE=0，即C、E點重合時，斜邊的中點處，CP是斜邊上的高，CP⊥AB，PC=PB=，此時能成為等腰三角形；當CE=1時，E點是BC的中點，旋轉圖形如圖1所示，PE=BE= ，所以能成為等腰三角形；當CE=，旋轉圖形如圖3所示，CE=CB+BE；此時能成為等腰三角形
（3）；若將三角板的直角頂點放在斜邊上的處，且，所以F是AB的四等分點；；過C點做CM⊥AB交AB于M點；所以M是AB的中點，F是AM的中點；在中，，，CM=AB的一半；DF是的中位線，所以DF=CM的一半，所以DF= ；同理EF= ，所以
點評：本題考查旋轉和等腰三角形，掌握旋轉的特征，熟悉等腰三角形的性質是解本題的關鍵