Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是BC邊上一動點，連接AE，沿AE將△ABE翻折得△AGE，連接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于點F，連接FG、FD．

（1）求證∠AGD＝∠EFG；

（2）求證△ADF∽△EGF；

（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為

【解析】

（1）根據題目圖形可知，本題考查圓內接四邊形的性質應用，可利用對角互補解題；同時根據題干“翻折”信息可推出邊等、角等信息，結合正方形ABCD邊等性質即可解答；

（2）本題需以第一問結論作為角互換的橋梁，同時考查正方形ABCD性質，利用其平行特征推出角等，結合“翻折”圖形性質進行角的互換，利用“角角”判定三角形相似；

（3）本題考查正方形以及圓的綜合運用，借助正方形內角90°為媒介考查圓周角定理的運用，同時需要觀察圖形特點構造全等三角形，結合勾股定理求解邊長．

（1）證明：∵四邊形AFGD是⊙O的內接四邊形，

∴∠ADG＋∠AFG＝180°，

∵∠AFG＋∠EFG＝180°，

∴∠ADG＝∠EFG，

由正方形ABCD及翻折可得AB＝AG＝AD，

∴∠ADG＝∠AGD，

∴∠AGD＝∠EFG．

（2）∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG，

∴∠AFD＝∠EFG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC．

∴∠DAF＝∠AEB．

由翻折得∠AEB＝∠GEF，

∴∠DAF＝∠GEF，

∴△ADF∽△EGF．

（3）解：設⊙O與CD交于點H，連接AH、GH，如下圖所示

∵∠ADH＝90°，

∴AH是⊙O的直徑，

∴∠AGH＝90°，

由翻折得∠AGE＝90°，則∠AGE＋∠AGH＝180°，

∴E、G、H三點在一條直線上．

∵AH＝AH，AD＝AG，∴Rt△ADH≌Rt△AGH，∴GH＝DH，

設GH＝DH＝x，則在Rt△ECH中，CH＝3－x，EH＝1＋x，EC＝3－1＝2，

由CH2＋EC2＝EH2，即(3－x)2＋22＝(1＋x)2，解得x＝，

在Rt△ADH中，AD2＋DH2＝AH2，即32＋()2＝AH2，解得AH＝，

∴⊙O的半徑為