Question

【題目】如圖，正方形的邊長為4，延長至使，以為邊在上方作正方形，延長交于，連接、，為的中點，連接分別與、交于點、.則下列結論：①；②；③；④.其中正確的結論有( )

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性質可得∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，繼而可得四邊形CEFM是矩形，∠AGF=90°，由此可得AH=FG，再根據∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，可得△ANH≌△GNF(AAS)，由此可判斷①正確；由AF≠AH，判斷出∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，由此可判斷②錯誤；證明△AHK∽△MFK，根據相似三角形的性質可對③進行判斷；分別求出S△ANF、S△AMD的值即可對④作出判斷.

∵四邊形ABCD、BEFG是正方形，

∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，

∴四邊形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°

∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，

∴AD//FM，DM=2，

∵H為AD中點，AD=4，

∴AH=2，

∵FG=2，

∴AH=FG，

∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，

∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正確；

∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，

∵AF>FG，

∴AF≠AH，

∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②錯誤；

∵EC=BC+BE=4+2=6，

∴FM=6，

∵AD//FM，

∴△AHK∽△MFK，

∴，

∴FK=3HK，

∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，

∴FN=2NK，故③正確；

∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，

∴AN=1，

∴S△ANF=，S△AMD=，

∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④正確，

故選 C.