Question

【題目】（1）（問題發現）

如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．

填空：①線段CF與DG的數量關系為　 　；

②直線CF與DG所夾銳角的度數為　 　．

（2）（拓展探究）

如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．

（3（解決問題）

如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為　 　（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）①CF＝DG；②45°；（2）成立，證明詳見解析；（3）．

【解析】

（1）【問題發現】連接AF．易證A，F，C三點共線．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．

（2）【拓展探究】連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．證明△CAF∽△DAG即可解決問題．

（3）【解決問題】證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出點E的運動軌跡是在射線OCE上，當OE⊥CE時，OE的長最短．

解：（1）【問題發現】如圖①中，①線段CF與DG的數量關系為CF＝DG；

②直線CF與DG所夾銳角的度數為45°．

理由：如圖①中，連接AF．易證A，F，C三點共線．

∵AF＝AG．AC＝AD，

∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．

故答案為CF＝DG，45°．

（2）【拓展探究】結論不變．

理由：連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．

∵∠CAD＝∠FAG＝45°，

∴∠CAF＝∠DAG，

∵AC＝AD，AF＝AG，

∴，

∴△CAF∽△DAG，

∴，∠AFC＝∠AGD，

∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，

∵∠AOF＝∠GOK，

∴∠K＝∠FAO＝45°．

（3）【解決問題】如圖3中，連接EC．

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABC＝45°，

∴∠BCE＝90°，

∴點E的運動軌跡是在射線CE上，當OE⊥CE時，OE的長最短，易知OE的最小值為，

故答案為.