Question

【題目】如圖，拋物線與坐標軸分別交于，，三點，連接，．

（1）直接寫出，，三點的坐標；

（2）點是線段上一點（不與，重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接．若點關于直線的對稱點恰好在軸上，求出點的坐標；

（3）在平面內是否存在一點，使關于點的對稱（點，，分別是點，，的對稱點）恰好有兩個頂點落在該拋物線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）,,；（2）；（3）存在點或，使關于點的對稱恰好有兩個頂點落在該拋物線上．

【解析】

（1）分別令y=0，x=0，代入，即可得到答案；

（2）由點與點關于直線對稱，且點在y軸上，軸，得，易得直線的解析式為：，設點的橫坐標為，則，，列出關于t的方程，即可求解；

（3）根據題意，平行于軸，平行于軸，，，點在點的右邊，點在點的下方，設點的橫坐標為，則的橫坐標為，點的橫坐標為，分三種情況討論：①若、在拋物線上，②若、在拋物線上，③，不可能同時在拋物線上，即可得到答案．

（1）令y=0，代入，得，解得：，

令x=0，代入 ，得: y=3，

∴,,；

（2）∵點與點關于直線對稱，且點在y軸上，

∴，

∵軸，

∴，

∴，

∴，

設直線的解析式為：，

把,，代入，得：，

∴，

∴直線的解析式為：，

設點的橫坐標為，則，，

∴，，

∴，解得：，（舍去），

∴；

（3）根據題意，平行于軸，平行于軸，，，點在點的右邊，點在點的下方，設點的橫坐標為，則的橫坐標為，點的橫坐標為．

①若、在拋物線上，則

∴

∴

∵點O與O′關于點P中心對稱，即點P 是OO′的中點，

∴；

②若、在拋物線上，則，

解得：，

∴

同①可得：；

③，不可能同時在拋物線上，

綜上所述存在點或，使關于點的對稱恰好有兩個頂點落在該拋物線上．