Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是正方形AD、CD邊上的點，且∠EBF=45°，對角線AC交BE,BF于M,N，對于以下結論，正確的是（ ）①AE+CF=FE②△ABE≌△BCF③AM2+CN2=MN2④△EFD的周長等于2AB

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

延長DA至點H，使AH=CF，連接BH，證明△BCF≌△BAH，△HBE≌△FBE即可判斷①②④，然后作BG⊥EF，連接MG，NG，證明△BAM≌△BGM，△BCN≌△BGN，根據勾股定理即可判定③.

解：延長DA至點H，使AH=CF，連接BH，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠BAH=∠BCF=90°，

在△BCF和△BAH中

∴△BCF≌△BAH（SAS），

∴BF=BH，∠CBF=∠ABH，CF=AH，

∵∠EBF=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，則∠HBE=45°，

在△HBE和△FBE中

∴△HBE≌△FBE（SAS），

∴HE=HF，即CF+AE=EF，故①正確；

∵題上沒有說明AE=CF，故②錯誤；

△EFD的周長=ED+EF+FD=ED+AE+CF+FD=2AB，故④正確；

作BG⊥EF，連接MG，NG，

∵△HBE≌△FBE，

∴∠BEA=∠BEG，從而得到△BAE≌△BGE，△BCF≌△BGF，

∴∠ABE=∠GBE，∠CBF=∠GBF，從而得到△BAM≌△BGM，△BCN≌△BGN，

∴AM=GM，CN=NG，∠BAM=∠BGM，∠BCN=∠BGN，

∵∠BAM+∠BCN=90°，

∴∠MGN=90°，

∴GM2+GN2=MN2

∴AM2+CN2=MN2，故③正確；

故正確的是①③④，故選C.