Question

【題目】對于平面內的點和點，給出如下定義：點為平面內一點，若點使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形，則稱點是點關于點的銳角等腰點．如圖，點是點關于點的銳角等腰點．

在平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點

(1)已知點，在點，， ，中，是點關于點的銳角等腰點的是 ；

(2)已知點，點在直線上，若點是點關于點的銳角等腰點，求實數的取值范圍．

(3) 點是軸上的動點，，，點是以點為圓心，2為半徑的圓上一動點．且滿足，若直線上存在點關于點的銳角等腰點，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根據銳角等腰點的概念和等腰三角形的性質逐一判斷即可；

（2）先以為圓心，為半徑畫圓，然后根據數形結合，找到兩個臨界點，一個臨界點是直線剛好與圓相切時，另一個臨界點是直線剛好過點時，分別求出相應的b的值，即可確定b的范圍；

（3）根據題意，找到兩個臨界點，當點E,F在直線左側時，過點E作于點M， 過點M作于點N，過點F作于點G，當時，利用全等三角形的判定及性質求解；當點E,F在直線右側時，，且直線與圓相切時，設切點為點K，過點K作于點M，利用三角函數和勾股定理求解．

（1） ，

∴ ，

∴等腰三角形的腰長為2．

∵，

，且是銳角，滿足條件，

∴是點關于點的銳角等腰點；

∵，

，但是直角，不滿足條件，

∴不是點關于點的銳角等腰點；

∵，

，不滿足條件，

∴不是點關于點的銳角等腰點；

∵，

，不滿足條件，

∴不是點關于點的銳角等腰點；

綜上所述，是點關于點的銳角等腰點的是；

(2) 以為圓心，為半徑畫圓，

當直線與圓相切時，設切點為點D，過點D作于點E，

令，則，令，則，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

設，

，

，

解得 ，

，

，

．

將點D代入中得，，

解得 ；

當直線過G點時，此時 ，

將點G代入中得，，

解得 ，

∴實數的取值范圍為；

(3) 當點E,F在直線左側時，過點E作于點M， 過點M作于點N，過點F作于點G，

當時，

∵，

，

．

，

，

，

．

，

，

，

．

將點M代入中得，，

當時，直線上存在點關于點的銳角等腰點，

，

；

當點E,F在直線右側時，，且直線與圓相切時，設切點為點K，過點K作于點M，

令，則，令，則，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

設，

，

，

解得 ，

，

，

．

將點M代入中得，，

解得 ；

綜上所述，直線上存在點關于點的銳角等腰點，t的取值范圍為．