Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AD=DP，OB=3，求的長度；

（3）若DE=4，AE=8，求線段EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）π（3）2

【解析】試題分析：（1）連接OD，由等腰三角形的性質得出∠DAB=∠ADO，再由已知條件得出∠ADO=∠DAF，證出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結論；

（2）易得∠BOD=60°，再由弧長公式求解即可；

（3）連接DG，由垂徑定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD∥AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）∵AD=DP

∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0

∴∠P+∠DAF+∠DAB =3xo=90O

∴x0=300

∴∠BOD=60°，

∴的長度=

（3）解：連接DG，如圖2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，

∴CD=DE+CE=8，

設OD=OA=x，則OE=8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴CG=2OA=10，

∵CG是⊙O的直徑，

∴∠CDG=90°，

∴DG==6，

∴EG==.