Question

【題目】問題探究，

(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P為CD邊上的中點，試比較∠APB和∠ADB的大小關系，并說明理由；

(2)如圖②，在正方形ABCD中，P為CD上任意一點，試問當P點位于何處時∠APB最大？并說明理由；

問題解決

(3)某兒童游樂場的平面圖如圖③所示，場所工作人員想在OD邊上點P處安裝監控裝置，用來監控OC邊上的AB段，為了讓監控效果最佳，必須要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，問在OD邊上是否存在一點P，使得∠APB最大，若存在，請求出此時OP的長和∠APB的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 結論：∠APB＞∠ADB ，理由見解析；(2) 當點P位于CD的中點時，∠APB最大，理由見解析；(3) 當經過A，B的⊙T與OD相切于P時，∠APB的值最大，理由見解析

【解析】

（1）作PH⊥AB于H，通過正方形和矩形的性質可得∠APB＝90°，再根據∠ADB＜90°，即可證明∠APB＞∠ADB；

（2）假設P為CD的中點，如圖②中，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O于點P，在CD上取任意異于P點的點E，連接AE，與⊙O交于點F，連接BE，BF，根據∠AFB是△EFB的外角，可得∠AFB＞∠AEB，再根據∠AFB＝∠APB，從而可得∠APB＞∠AEB，故點P位于CD的中點時，∠APB最大；

（3）作TH⊥OC于H，交OD于Q，連接TA，TB，OT．設TP＝TA＝TB＝r，根據等邊三角形的性質可得AH＝HB＝100 (m)，再根據含30°角的直角三角形的性質可得AT＝200m，故AT＝2AH，可得∠ATH＝30°，即∠ATB＝2∠ATH＝60°，根據圓周角定理可得∠APB＝∠ATB＝30°，再根據含30°角的直角三角形的性質求出OQ和PQ的長度，再根據OP＝OQ﹣PQ求解OP的長度即可．

解：（1）如圖①中，結論：∠APB＞∠ADB．

理由：作PH⊥AB于H．

∵四邊形ABCD是矩形，PH⊥AB，

∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°，

∴四邊形ADPH是矩形，

∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC，

∴DA＝DP，

∴四邊形ADPH是正方形，

∴∠APH＝45°，同理可證∠BPH＝45°，

∴∠APB＝90°，

∵∠ADB＜90°，

∴∠APB＞∠ADB．

（2）當點P位于CD的中點時，∠APB最大，理由如下：

假設P為CD的中點，如圖②中，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O于點P，

在CD上取任意異于P點的點E，連接AE，與⊙O交于點F，連接BE，BF，

∵∠AFB是△EFB的外角，

∴∠AFB＞∠AEB，

∵∠AFB＝∠APB，

∴∠APB＞∠AEB，

故點P位于CD的中點時，∠APB最大．

（3）如圖③中，當經過A，B的⊙T與OD相切于P時，∠APB的值最大，

作TH⊥OC于H，交OD于Q，連接TA，TB，OT．設TP＝TA＝TB＝r，

∵TA＝TB，TH⊥AB，

∴AH＝HB＝100 (m)，

∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100)(m)，

∴QH＝OH＝(400+300)(m)，∠OQH＝30°，

∴TQ＝2PT＝2r，

∵TH＝＝，

∴2r+＝400+300，

整理得：3r2﹣(1600+1200)r+60000+240000＝0，

∴(r﹣200)(r﹣1000﹣1200)＝0，

∴r＝200或1000+1200(舍棄)，

∴AT＝200m，

∴AT＝2AH，

∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，

∴∠APB＝∠ATB＝30°，

∴，

∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝(200+200)(m)．