Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，當BC為直徑時，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，求證：DE=AF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BE交⊙O于點G，連接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2.

【解析】

（1）連接OB、OC、OD，根據圓心角與圓周角的性質得∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，又AD平分∠BAC，得∠BOD=∠COD，再根據圓周角相等所對的弧相等得出結論.

（2）過點O作OM⊥AD于點M，又一組角相等，再根據平行線的性質得出對應邊成比例，進而得出結論；

（3）延長EO交AB于點H，連接CG，連接OA，BC為⊙O直徑，則∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四邊形CFEG是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根據鄰補角與余角的性質可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根據直角三角形的三角函數計算出邊的長，根據“角角邊”證明出△HBO∽△ABC，根據相似三角形的性質得出對應邊成比例，進而得出結論.

（1）如圖1，連接OB、OC、OD，

∵∠BAD和∠BOD是所對的圓周角和圓心角，

∠CAD和∠COD是所對的圓周角和圓心角，

∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴=；

（2）如圖2，過點O作OM⊥AD于點M，

∴∠OMA=90°，AM=DM，

∵BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，

∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，

∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，

∴OM∥BE，OM∥CF，

∴BE∥OM∥CF，

∴=，

∵OB=OC，

∴==1，

∴FM=EM，

∴AM﹣FM=DM﹣EM，

∴DE=AF；

（3）延長EO交AB于點H，連接CG，連接OA．

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BAC=90°，∠G=90°，

∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，

∴四邊形CFEG是矩形，

∴EG=CF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF=×90°=45°，

∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，

∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，

∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，

∴AE=BE，AF=CF，

在Rt△ACF中，∠AFC=90°，

∴sin∠CAF=，即sin45°=，

∴CF=2×=，

∴EG=，

∴EF=2EG=2，

∴AE=3，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，

∴AB===6，

∵AE=BE，OA=OB，

∴EH垂直平分AB，

∴BH=EH=3，

∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC

∴△HBO∽△ABC，

∴==，

∴OH=1，

∴OE=EH﹣OH=3﹣1=2．