Question

【題目】已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．

（1）操作發現：直線l⊥m，分別交m、n于點A、B，當點B與點D重合時（如圖1），連結PA，請直接寫出線段PA與PB的數量關系：　 　．

（2）猜想證明：在圖1的情況下，把直線l向右平移到如圖2的位置，試問（1）中的PA與PB

的關系式是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

（3）延伸探究：在圖2的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得∠APB=90°（如圖3），若兩平行線m、n之間的距離為2k，求證：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】（1）PA=PB；（2）成立，證明詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據△CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應用直角三角形的性質，可得PA=PB，據此解答即可．

（2）PA=PB仍然成立．如圖，延長AP交直線n于點E．只要證明PA=PE即可；

（3）延長AP交直線n于點E，作AF⊥直線n于點F．只要證明△AEF∽△BEP，可得，推出AEBP=AFBE，由AF=2k，AE=2PA，BE=AB，推出2PAPB=2kAB，可得PAPB=AB．

解：．

成立．如圖，延長AP交直線m于點E．

mn，

，，

又，

≌．

，即點P是AE的中點，

又，

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

如圖，延長AP交直線n于點E，作直線n于點

由得，

又，

是線段AE的垂直平分，

，，

∽．

，

，

，，，

，

．